Problem:
10 ( tan β‘ 1 β ) + 10 ( tan β‘ 2 β ) + 10 ( tan β‘ 3 β ) + β― + 10 ( tan β‘ 8 8 β ) + 10 ( tan β‘ 8 9 β ) log 1 0 β ( tan 1 β ) + log 1 0 β ( tan 2 β ) + log 1 0 β ( tan 3 β ) + β― + log 1 0 β ( tan 8 8 β ) + log 1 0 β ( tan 8 9 β ) β
Answer Choices:
A. 0 0
B. 1 2 10 ( 1 2 3 ) 2 1 β log 1 0 β ( 2 1 β 3 β )
C. 1 2 10 2 2 1 β log 1 0 β 2
D. 1 1
E. none of these
Solution:
Using log β‘ a + log β‘ b = log β‘ a b log a + log b = log a b
P = 10 [ ( tan β‘ 1 β ) ( tan β‘ 2 β ) β― ( tan β‘ 4 5 β ) β― ( tan β‘ 8 9 β ) ] P = log 1 0 β [ ( tan 1 β ) ( tan 2 β ) β― ( tan 4 5 β ) β― ( tan 8 9 β ) ]
Moreover, ( tan β‘ 1 β ) ( tan β‘ 8 9 β ) = 1 , ( tan β‘ 2 β ) ( tan β‘ 8 8 β ) = 1 ( tan 1 β ) ( tan 8 9 β ) = 1 , ( tan 2 β ) ( tan 8 8 β ) = 1 tan β‘ ΞΈ tan β‘ ( 90 β ΞΈ ) = tan β‘ ΞΈ cot β‘ ΞΈ = 1 tan ΞΈ tan ( 9 0 β ΞΈ ) = tan ΞΈ cot ΞΈ = 1 ΞΈ ΞΈ tan β‘ ΞΈ tan ΞΈ cot β‘ ΞΈ cot ΞΈ
P = 10 ( tan β‘ 4 5 β ) = 10 1 = 0 P = log 1 0 β ( tan 4 5 β ) = log 1 0 β 1 = 0