Problem:
( 5 + 6 + 7 ) ( 5 + 6 − 7 ) ( 5 − 6 + 7 ) ( − 5 + 6 + 7 ) . ( 5 + 6 + 7 ) ( 5 + 6 − 7 ) ( 5 − 6 + 7 ) ( − 5 + 6 + 7 ) .
Solution:
Repeated use of the identity ( x + y ) ( x − y ) = x 2 − y 2 ( x + y ) ( x − y ) = x 2 − y 2 ( 5 + 6 + 7 ) ( 5 + 6 − 7 ) = ( 5 + 6 ) 2 − ( 7 ) 2 = ( 11 + 2 30 ) − 7 = 4 + 2 30 ( 5 + 6 + 7 ) ( 5 + 6 − 7 ) = ( 5 + 6 ) 2 − ( 7 ) 2 = ( 1 1 + 2 3 0 ) − 7 = 4 + 2 3 0 ( 5 − 6 + 7 ) ( − 5 + 6 + 7 ) = ( 7 ) 2 − ( 5 − 6 ) 2 = 7 − ( 11 − 2 30 ) = − 4 + 2 30 ( 5 − 6 + 7 ) ( − 5 + 6 + 7 ) = ( 7 ) 2 − ( 5 − 6 ) 2 = 7 − ( 1 1 − 2 3 0 ) = − 4 + 2 3 0 ( 4 + 2 30 ) ( − 4 + 2 30 ) = ( 2 30 ) 2 − 4 2 = 120 − 16 = 104 ( 4 + 2 3 0 ) ( − 4 + 2 3 0 ) = ( 2 3 0 ) 2 − 4 2 = 1 2 0 − 1 6 = 1 0 4
The problems on this page are the property of the MAA's American Mathematics Competitions