Problem: a ⩾ 1 a ⩾ 1
a − a + x = x a − a + x ​ ​ = x
is equal to
Answer Choices:
A. a − 1 a ​ − 1
B. a − 1 2 2 a ​ − 1 ​
C. a − 1 a − 1 ​
D. a − 1 2 2 a − 1 ​ ​
E. 4 a − 3 − 1 2 2 4 a − 3 ​ − 1 ​
Solution:
Since x x x ⩾ 0 x ⩾ 0 x ⩾ 0 x ⩾ 0
a − a + x = x 2 a − a + x ​ = x 2
Since the left member of this equation is a decreasing function of x x y = a + x y = a + x ​
a − y = x 2 a − y − y 2 = x 2 − y 2 a − y − ( a + x ) = x 2 − y 2 − ( x + y ) = ( x + y ) ( x − y ) 0 = ( x + y ) ( x − y + 1 ) a − y = x 2 a − y − y 2 = x 2 − y 2 a − y − ( a + x ) = x 2 − y 2 − ( x + y ) = ( x + y ) ( x − y ) 0 = ( x + y ) ( x − y + 1 ) ​
Since a ⩾ 1 a ⩾ 1 x ⩾ 0 x ⩾ 0 y > 0 y > 0 x + y ≠0 x + y î€ = 0
x − y + 1 = 0 x + 1 = y x + 1 = a + x ( x + 1 ) 2 = a + x x = − 1 ± 4 a − 3 2 . x − y + 1 = 0 x + 1 = y x + 1 = a + x ​ ( x + 1 ) 2 = a + x x = 2 − 1 ± 4 a − 3 ​ ​ . ​
The positive solution x = 4 a − 3 − 1 2 x = 2 4 a − 3 ​ − 1 ​