Problem: C C x 2 x 2
( 1 − x ) ( 1 + 2 x ) ( 1 − 3 x ) … ( 1 + 14 x ) ( 1 − 15 x ) ( 1 − x ) ( 1 + 2 x ) ( 1 − 3 x ) … ( 1 + 1 4 x ) ( 1 − 1 5 x )
Find ∣ C ∣ ∣ C ∣
Solution:
Each of the x 2 x 2 x x 15 1 5 x 2 x 2 { − 1 , 2 , − 3 , … , 14 , − 15 } { − 1 , 2 , − 3 , … , 1 4 , − 1 5 }
( a 1 + a 2 + ⋯ + a n ) 2 = a 1 2 + a 2 2 + ⋯ + a n 2 + 2 ⋅ ( ∑ 1 ≤ i < j ≤ n a i a j ) ( a 1 + a 2 + ⋯ + a n ) 2 = a 1 2 + a 2 2 + ⋯ + a n 2 + 2 ⋅ ( 1 ≤ i < j ≤ n ∑ a i a j )
Thus
C = ∑ 1 ≤ i < j ≤ 15 ( − 1 ) i i ( − 1 ) j j = 1 2 ( ( ∑ k = 1 15 ( − 1 ) k k ) 2 − ∑ k = 1 15 k 2 ) = 1 2 ( ( − 8 ) 2 − 15 ( 15 + 1 ) ( 2 ⋅ 15 + 1 ) 6 ) = − 588 C = 1 ≤ i < j ≤ 1 5 ∑ ( − 1 ) i i ( − 1 ) j j = 2 1 ⎝ ⎛ ( k = 1 ∑ 1 5 ( − 1 ) k k ) 2 − k = 1 ∑ 1 5 k 2 ⎠ ⎞ = 2 1 ( ( − 8 ) 2 − 6 1 5 ( 1 5 + 1 ) ( 2 ⋅ 1 5 + 1 ) ) = − 5 8 8
Hence ∣ C ∣ = 588 ∣ C ∣ = 5 8 8
OR OR
Note that
f ( x ) = ( 1 − x ) ( 1 + 2 x ) ( 1 − 3 x ) … ( 1 − 15 x ) = 1 + ( − 1 + 2 − 3 + ⋯ − 15 ) x + C x 2 + ⋯ = 1 − 8 x + C x 2 + ⋯ f ( x ) = ( 1 − x ) ( 1 + 2 x ) ( 1 − 3 x ) … ( 1 − 1 5 x ) = 1 + ( − 1 + 2 − 3 + ⋯ − 1 5 ) x + C x 2 + ⋯ = 1 − 8 x + C x 2 + ⋯
Thus f ( − x ) = 1 + 8 x + C x 2 − ⋯ f ( − x ) = 1 + 8 x + C x 2 − ⋯
But f ( − x ) = ( 1 + x ) ( 1 − 2 x ) ( 1 + 3 x ) … ( 1 + 15 x ) f ( − x ) = ( 1 + x ) ( 1 − 2 x ) ( 1 + 3 x ) … ( 1 + 1 5 x )
f ( x ) f ( − x ) = ( 1 − x 2 ) ( 1 − 4 x 2 ) ( 1 − 9 x 2 ) … ( 1 − 225 x 2 ) = 1 − ( 1 2 + 2 2 + 3 2 + ⋯ + 1 5 2 ) x 2 + ⋯ f ( x ) f ( − x ) = ( 1 − x 2 ) ( 1 − 4 x 2 ) ( 1 − 9 x 2 ) … ( 1 − 2 2 5 x 2 ) = 1 − ( 1 2 + 2 2 + 3 2 + ⋯ + 1 5 2 ) x 2 + ⋯
Also f ( x ) f ( − x ) = ( 1 − 8 x + C x 2 + ⋯ ) ( 1 + 8 x + C x 2 − ⋯ ) = 1 + ( 2 C − 64 ) x 2 + ⋯ f ( x ) f ( − x ) = ( 1 − 8 x + C x 2 + ⋯ ) ( 1 + 8 x + C x 2 − ⋯ ) = 1 + ( 2 C − 6 4 ) x 2 + ⋯ 2 C − 64 = − ( 1 2 + 2 2 + 3 3 + ⋯ + 1 5 2 ) 2 C − 6 4 = − ( 1 2 + 2 2 + 3 3 + ⋯ + 1 5 2 ) ∣ C ∣ = 588 ∣ C ∣ = 5 8 8
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